Integrálási módszerek, speciális esetek

Helyettesítéses integrálás

A helyettesítéses integrálás módszerének bevezetéséhez tekintsük az alábbi példát:

$$\int 2x \cdot (x^2 + 1)^3 \dd x \text.$$

Vegyük észre, hogy a zárójelben szereplő kifejezés deriváltja megjelenik a szorzatban. Vezessük be a $t = x^2 + 1$ helyettesítést, majd számoljuk ki a kifejezés deriváltját:

$$\odv{t}{x} = 2x \quad \rightarrow \quad \dd x = \frac{1}{2x} \dd t \text.$$

Helyettesítsük be a kifejezést:

$$\int 2x \cdot (x^2 + 1)^3 \dd x = \int 2x \cdot t^3 \cdot \frac{1}{2x} \dd t = \int t^3 \dd t = \frac{t^4}{4} + C = \frac{(x^2 + 1)^4}{4} + C \text.$$

:::note A helyettesítéses integrálás módszere

• $\displaystyle \int f^\alpha \cdot f' = \frac{f^{\alpha + 1}} {\alpha + 1}$, ahol $\alpha \neq -1$,

• $\displaystyle \int \frac{f'}{f} = \ln |f| + C$,

• $\displaystyle \int e^f \cdot f' = e^f + C$,

• $\displaystyle \int (f \circ g) \cdot g' \dd x = \left( \int f \right) \circ g$.

:::

::: example

Integráljuk az alábbi kifejezést: $\int \frac{2x}{x^2 + 1} \dd x \text.$ A nevezőben szereplő kifejezés deriváltja megegyezik a számlálóval, ezért az integrálás eredménye a következő:

$$\int \frac{2x}{x^2 + 1} \dd x = \ln |x^2 + 1| + C \text.$$

Ellenőrizzük az eredményt! Vezessük be a $t = x^2 + 1$ helyettesítést, majd számoljuk ki a kifejezés deriváltját:

$$\odv{t}{x} = 2x \quad \rightarrow \quad \dd x = \frac{1}{2x} \dd t \text.$$

Helyettesítsük be a kifejezést:

$$\int \frac{2x}{x^2 + 1} \dd x = \int \frac{1}{t} \dd t = \ln \abs{t} + C = \ln \abs{x^2 + 1} + C \text.$$

A két eredmény megegyezik, tehát az integrálás helyes.

:::

::: example

Integráljuk az alábbi kifejezést:

$$6x^2 \cdot e^{x^3} \dd x \text.$$

Az exponenciális függvény kitevőjének a deriváltja megjelenik a szorzatban, ezért az integrálás eredménye a következő:

$$\int 6x^2 \cdot e^{x^3} \dd x = 2 \int 3x^2 \cdot e^{x^3} \dd x = 2 e^{x^3} + C \text.$$

Ellenőrizzük az eredményt! Vezessük be a $t = x^3$ helyettesítést, majd számoljuk ki a kifejezés deriváltját:

$$\odv{t}{x} = 3x^2 \quad \rightarrow \quad \dd x = \frac{1}{3x^2} \dd t \text.$$

Helyettesítsük be a kifejezést:

$$\int 6x^2 \cdot e^{x^3} \dd x = 2 \int 3x^2 \cdot e^{x^3} \dd x = 2 \int e^t \cdot \frac{1}{3x^2} \dd t = 2 e^t + C = 2 e^{x^3} + C \text.$$

A két eredmény megegyezik, tehát az integrálás helyes.

:::

::: example

Integráljuk az alábbi kifejezést:

$$\int x \cdot \cos (x^2 + 3) \dd x \text.$$

A koszinusz argumentumának deriváltja megjelenik a szorzatban, ezért az integrálás eredménye a következő:

$$\int x \cdot \cos (x^2 + 3) \dd x = \frac{1}{2} \int 2x \cdot \cos (x^2 + 3) \dd x = \frac{1}{2} \sin(x^2 + 3) + C \text.$$

Ellenőrizzük az eredményt! Vezessük be a $t = x^2 + 3$ helyettesítést, majd számoljuk ki a kifejezés deriváltját:

$$\odv{t}{x} = 2x \quad \rightarrow \quad \dd x = \frac{1}{2x} \dd t \text.$$

Helyettesítsük be a kifejezést:

$$\int x \cdot \cos (x^2 + 3) \dd x = \int x \cdot \cos t \cdot \frac{1}{2x} \dd t = \frac{1}{2} \int \cos t \dd t = \frac{1}{2} \sin t + C = \frac{1}{2} \sin(x^2 + 3) + C \text.$$

A két eredmény megegyezik, tehát az integrálás helyes.

:::

Parciális integrálás

TODO

Racionális törtfüggvények integrálása

TODO

Trigonometrikus függvények integrálása

TODO