Integrálszámítás
Az integrálszámítás ugyancsak a matematikai analízis alapvető eszköze, amelynek segítségével a változások összegzését és különböző görbék által közbezárt területek kiszámítását végezhetjük el. Ezáltal lehetővé válik számunkra, hogy megértsük és leírjuk a természetben és a társadalomban zajló folyamatokat. Alapjait – a differenciálszámításhoz hasonlóan - Isaac Newton és Gottfried Wilhelm Leibniz fektették le a 17. században.
A differenciálszámítás során megismert deriváltak a változás sebességét fejezik ki, míg az integrálszámítás a kumulált változásokat számszerűsíti. A határozatlan integrál segítségével egy adott függvényhez hozzárendeljük azokat a függvényeket, amelyek deriváltja az adott függvény. Ilyenkor azt mondjuk, hogy megkeressük az adott függvény primitív függvényét. A határozott integrál használatával pedig konkrét értékeket rendelhetünk a függvények alatti területekhez, kiszámíthatunk olyan fizikai mennyiségeket, mint például a megtett út vagy a munka. Az improprius integrál a Riemann-féle integrál kiterjesztése olyan esetekre, amikor az integrálandó függvény vagy az integrálási tartomány nem korlátos.
Az integrálszámítás nem csupán elméleti jelentőséggel bír, hanem számos gyakorlati alkalmazása is van. Ez a fejezet a fenti fogalmakat és az integrálszámítás alapjait mutatja be, megvilágítva annak széleskörű alkalmazhatóságát és jelentőségét a tudományos és mérnöki problémák megoldásában. Az Olvasó megismerkedhet az integrálszámítás alapvető tételeivel, módszereivel és azok alkalmazásával, amelyek elengedhetetlenek a matematikai gondolkodás és a problémamegoldó képességek fejlesztéséhez.
Ebben a fejezetben
Határozatlan integrál
Legyen $f: I \rightarrow \Reals$, ekkor az $F : I \rightarrow \Reals$ függvényt az $f$ függvény primitív függvényének nevezzük $I$-n, ha $F$ differenciálható $I$-n és $F'(x) = f(x) \quad \forall x \in I$. Ha az $F$ függvény primitív függvénye az $f$
Integrálási segédlet
$$ \int f(x) \dd x = F(x) + C $$ Táblázatok Alapesetek | $f(x)$ | $F(x)$ | | :------------: | :------------------------: | | $k$ | $kx + C$ | | $x^n$ | $\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$ | | $\dfrac{1}{
Integrálási módszerek, speciális esetek
Helyettesítéses integrálás A helyettesítéses integrálás módszerének bevezetéséhez tekintsük az alábbi példát: $$ \int 2x \cdot (x^2 + 1)^3 \dd x \text. $$ Vegyük észre, hogy a zárójelben szereplő kifejezés deriváltja megjelenik a szorzatban. Vezessük be a $t =
Határozott integrál
A Riemann-integrál Legyen $a < b \in \Reals$, ekkor az $[a;b]$ egybeosztásán egy $$ d := \Big{ ; x_i \in \Reals ; | ; i = 0; 1; \dots; n, a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b ; \Big} $$ ponthalmazt értjük. Az $x_i$ a beosztás egy osztópontja, az $[x_{i - 1}; x_
Felkészülést segítő kérdések
Definiálja a primitív függvény fogalmát! Definiálja egy $f$ függvény Darboux-féle alsó és felső integrálját! Mondja ki a Riemenn-integrálhatóság kritériumait! Mikor nevezünk egy halmazt Lebesgue szerint nullmértékűnek? Mit nevezünk egy $f$ függvény területmér