Határozatlan integrál

Elemi függvények

Az alábbi függvényekből a négy alapművelet, az összetett függvényképzés és a nyílt halmazra való leszűkítés véges sokszori alkalmasával keletkező függvényeket elemi függvényeknek nevezzük:

$$1 \text, \quad x \text, \quad e^x \text, \quad \ln x \text, \quad \sin x \text, \quad \arcsin x \text.$$

A $\cos x$, $\tan x$, $\cot x$, $\sinh x$, $\cosh x$, $\tanh x$, $\coth x$, $\arccos x$, $\arctan x$, $\arccot x$, $\arccosh x$, $\arccosh x$, $\arctanh x$, $\arccoth x$, $x^\alpha$, polinom, racionális függvények elemi függvények.

Elemien integrálható függvények

A négy alapművelet, az összetett függvényképzés, a nyílt halmazra való leszűkítés megőrzi a differenciálhatóságot, tehát az elemi függvények az értelmezési tartományuk belső pontjában differenciálhatóak. A primitív függvények megkeresése azonban kivezet az elemi függvények köréből, ez indokolja az elemien integrálható függvények elnevezés bevezetését.

Elemien integrálható függvény olyan elemi függvény, amelynek primitív függvénye ugyancsak elemi függvény.

Elemien integrálható függvények például:

$$x^2 \text, \quad \frac{1}{x + 2} \text, \quad \frac{1}{x^2 + 1} \text.$$

Nem elemien integrálható függvény például:

$$e^{-x^2} \text, \quad \frac{\sin x}{x} \text, \quad \frac{1}{\ln x} \text.$$