Fogalmak, definíciók

:::definition TODO

$!(a_n) : \mathbb{N} \rightarrow \Reals$ numerikus sorozat, amelyből képezzük az alábbi sorozatot:

$$\begin{align*} s_1 & = a_1 \\ s_2 & = a_1 + a_2 \\ & \;\;\vdots \\ s_n & = a_1 + a_2 + \dots + a_n \\ \end{align*}$$

Az így képzett $(s_n)$-t az $(a_n)$ sorozatból képzett numerikus sornak mondjuk. Jele:

$$s_n = \sum_{i=1}^{n} a_i = \sum a_n \text,$$

ahol $a_n$ a sor $n$-edik/általános tagja, $s_n$ pedig a sor $n$-edik részletösszege.

Azt mondjuk, hogy a $\sum a_n$ sor konvergens, ha az $s_n$ sorozat konvergens, továbbá $\sum a_n$ sor divergens, ha $s_n$ sorozat divergens.

Az $s_n$ sorozat határértékét a $\sum a_n$ sor összegének hívjuk:

$$\lim_{n \rightarrow \infty} s_n = \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n a_i=\sum_{i=1}^\infty a_i$$

:::

:::theorem A numerikus sor konvergenciájának szükséges feltétele

Ha a $\sum a_n$ numerikus sor konvergens, akkor az $(a_n)$ nullsorozat, azaz $\lim_{n\rightarrow\infty} a_n=0$, sőt $a_n+a_{n+1}+...+a_{n+p} \rightarrow 0$, ha $n\rightarrow \infty$ (ekkor $p\in\mathbb{N}$ rögzített).

:::

:::note

A $\sum_0 a q^n$ végtelen geometriai sor konvergens $\Leftrightarrow$ ha $|q|<1$, ekkor a sorösszeg $a \cdot \frac{1}{1-q}$.

:::

THEOREM: A numerikus sor konvergenciájának elégséges feltétele

$\sum a_n$ numerikus sor akkor és csak akkor konvergens ha $\forall \varepsilon > 0$ esetén

$\exists N(\varepsilon): |a_{n + 1} + a_{n + 2} + \dots + a_m| < \varepsilon \text,$

ha $n, m > N(\varepsilon)$ és $m > n$.

NOTE:

Véges sok tag elhagyása/megváltoztatása a sorozatban a konvergenciát nem változtatja meg, de a sorösszeget igen.

NOTE:

Legyen $\sum a_n$ és $\sum b_n$ konvergens numerikus sor, ekkor $\sum (a_n + b_n)$ is konvergens és

$$\sum_{n=1}^\infty (a_n + b_n) = \sum_{n=1}^\infty a_n + \sum_{n=1}^\infty b_n \text.$$

NOTE:

Legyen $\sum a_n$ konvergens numerikus sor és $\lambda$ valós szám, ekkor

$$\sum_{n=1}^\infty \lambda a_n = \lambda \sum_{n=1}^\infty a_n \text.$$

THEOREM: TODO

Ha $\sum a_n$ konvergens, úgy bármely csoportosított sora is konvergens és a két sor összege megegyezik.

NOTE:

A tétel visszafelé is igaz.

:::definition TODO

A $\sum a_n$-t abszolút konvergensnek hívjuk, ha $\sum |a_n|$ konvergens.

:::

NOTE:

Ha egy nemnegatív tagú sor konvergens, akkor abszolút konvergens. Ha a $\sum a_n$ sor konvergens, de nem abszolút konvergens, akkor feltételes konvergenciáról beszélünk.

THEOREM: TODO

Abszolút konvergens sor feltételesen is konvergens.

NOTE:

Az állítás visszafelé nem igaz.

THEOREM: Riemann-tétel

Legyen $\sum a_n$ feltételesen konvergens, de nem abszolút konvergens numerikus sor és legyen $\alpha$ egy tetszőleges bővített valós szám, ekkor $\sum a_n$-nek van olyan átrendezése, hogy az átrendezett sor összege éppen $\alpha$.

THEOREM: TODO

Abszolút konvergens sor bármely átrendezett sora is abszolút konvergens és a sorösszeg azonos.

THEOREM: Majoráns és minoráns kritérium

Legyenek $\sum a_n$ és $\sum b_n$ nemnegatív tagú sorok, melyekre az $a_n < b_n : \forall n \in \mathbb{N}$-re vagy $n_0 < n$ esetén:

1. ha $\sum a_n$ divergens, akkor $\sum b_n$ is az (minoráns kritérium),
2. ha $\sum b_n$ konvergens, akkor $\sum a_n$ is az (majoráns kritérium).

THEOREM: Hányados / D'Alambert-teszt

$\sum a_n$ egy pozitív tagú numerikus sor, ha $\exists 0 \leq q < 1$ valós szám, hogy $\frac{a_{n+1}}{a_n} \leq q$, ha $n>n_0$ vagy $\forall n$ esetén, akkor a $\sum a_n$ konvergens (ha 1, akkor nem alkalmazható)

THEOREM: Gyök- / Cauchy-teszt

Legyen $\sum a_n$ egy nemnegatív tagú sor, ha $\exists 0 \leq q < 1$, hogy $\sqrt[n]{a_n} \leq q$, ha $n>n_0$ vagy $\forall n$-re, akkor $\sum a_n$ konvergens

NOTE:

Vegyük észre, hogy a majoráns illetve minoráns kritérium és az előző két teszt az abszolút konvergencia eldöntésére szolgál, a feltételes konvergenciáról nem ad információt.

THEOREM: Integrál kritérium

Ha $x \geq 1$ esetén az $f$ függvény folytonos, nemnegatív és csökkenő, akkor a $\sum |f_n|$ numerikus sor konvergens vagy divergens aszerint, hogy

$$\int_1^\infty f_s \dd x$$

konvergens vagy divergens.

:::definition TODO

A $\sum (-1)^{n+1} \cdot b_n$ numerikus sort alternáló sornak nevezzük.

:::

THEOREM: Leibniz-tétel

A $\sum (-1)^{n+1} \cdot b_n$ alternáló numerikus sor konvergens akkor és csakis akkor, ha $(b_n)$ monoton csökkenő nullsorozat, ekkor az $|s - s_n| \leq b_{n + 1}$.

:::definition TODO

$(a_n)$ és $(b_n)$ a nemnegatív egészek halmazán értelmezett numerikus sorozatok és

$$c_n:=\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k} \text,$$

ekkor a $\sum c_n$-t a $\sum a_n$ és $\sum b_n$ numerikus sorok Cauchy-féle szorzatsorának hívjuk.

:::

THEOREM: TODO

Abszolút konvergens sorok Cauchy-féle szorzatsora is abszolút konvergens és a szorzatsor összege a tényezősorok összegének szorzata.

THEOREM: TODO

Tegyük fel, hogy a $\sum a_n$ abszolút konvergens és sorösszege $A$ és a $\sum b_n$ feltételesen konvergens és a sorösszege $B$, ekkor a Cauchy-féle szorzatsorok sorösszege $A\cdot B$.

Numerikus sor konvergenciájának vizsgálata:

0. $a_n \rightarrow 0$, ha $n \rightarrow \infty$, ha nem teljesül akkor a sor divergens, ha teljesül akkor vagy nevezetes sor, vagy alkalmazzuk a teszteket
1. Nevezetes sorok:
   • végtelen sor $\sum a q^n$, ha $|q|<1 \frac{a}{1-q}$,
   • alternáló sor $\sum (-1)^{n+1}$.
2. Tesztek, kritériumok: majoráns, minoráns, hányados, gyök, integrál

THEOREM: TODO

Legyen $(a_n)$ monoton csökkenő nemnegatív tagú sorozat, a belőle képzett numerikus sor akkor és csak akkor konvergens, ha

$$\sum_{k = 0} 2^k a_{2k} = a_1 + 2 \cdot a_2 + 2^2 \cdot a_4 + \dots$$

is konvergens.

THEOREM: TODO

$\sum \dfrac{1}{n^k}$ konvergál, ha $P>1$ és divergál, ha $P \leq 1$.

THEOREM: TODO

$\dfrac{1}{n\cdot (\ln n)^P}$ konvergens, ha $P>1$ és divergens, ha $P \leq 1$.